I matematik, ideen om en fri genstand er en af ​​de grundlæggende begreber i abstrakte algebra. Det er en del af universel algebra, i den forstand, at den vedrører alle typer af algebraiske struktur. Det har også en formulering i form af kategoriteori, selv om dette er i endnu mere abstrakt. Eksempler omfatter frie grupper, tensor algebraer, eller gratis gitre. Uformelt kan en gratis objekt over et sæt A tænkes som værende en "generisk" algebraiske struktur i løbet af A: de eneste ligninger, der holder mellem elementer af den frie objekt er dem, der følger af de definerer aksiomer i den algebraiske struktur.

Definition

Gratis objekter er den direkte generalisering kategorier af begrebet basis i et vektorrum. En lineær funktion u: E1 → E2 mellem vektorrum er fuldstændig fastlagt ved sine værdier på basis af vektorrummet E1. Omvendt er en funktion u: kan E1 → E2 defineret på basis af E1 entydigt udvides til en lineær funktion. Følgende definition oversætter dette til enhver kategori.

Lade være en konkret kategori, lad X være et sæt, A ∈ C et objekt, og jeg: X → F et kort mellem sæt. Vi siger, at A er den frie objekt på X hvis og kun hvis de opfylder denne universelle ejendom:

På denne måde den frie functor som bygger den frie objektet A fra sættet X bliver efterladt adjoint til glemsomme functor.

Eksempler

Oprettelsen af ​​frie objekter forløber i to trin. For algebraer, der opfylder den associative lov, det første skridt er at overveje indsamling af alle mulige ord, der er dannet fra et alfabet. Så stiller man et sæt ækvivalensrelationer upon ordene, hvor relationerne er de definerende forbindelser algebraiske objekt ved hånden. Den frie genstand består derefter af sættet af ækvivalensklasser.

Betragt for eksempel konstruktionen af ​​den frie gruppe i to generatorer. Man starter med et alfabet bestående af de fem bogstaver. I det første trin, er der endnu ikke nogen tildelt mening til "bogstaverne" eller; disse vil blive givet senere, i det andet trin. Således kunne man lige så godt starte med alfabetet i fem bogstaver, der er. I dette eksempel vil mængden af ​​alle ord eller strenge omfatter strenge, såsom aebecede og ABDC, og så videre, af vilkårlig endelig længde, med bogstaverne anbragt på enhver mulig rækkefølge.

I det næste trin, man pålægger et sæt ækvivalens relationer. Ækvivalensen relationer for en gruppe er, at af multiplikation med identiteten ,, og en mangedobling af inverse :. Anvendelse af disse relationer til strengene ovenfor, opnår

hvor det blev klart, at c er en stand-in for, og d er en stand-in for, mens e er identiteten element. Tilsvarende har man

Angiver ækvivalensen forhold eller kongruens ved, den frie objektet er så indsamling af ækvivalensklasser af ord. Således i dette eksempel, den frie gruppe i to generatorer er kvotienten

Dette er ofte skrevet som

hvor

er mængden af ​​alle ord, og

er ækvivalens klasse af identiteten, efter forholdet definerer en gruppe pålægges.

En enklere eksempel er de frie monoider. Den gratis monoid på et sæt X, er monoid af alle endelige strenge ved hjælp af X som alfabetet, med drift sammenkædning af strenge. Identiteten er den tomme streng. I det væsentlige, det frie monoid er simpelthen mængden af ​​alle ord, uden ækvivalensrelationer pålagt. Dette eksempel er videreudviklet i artiklen på Kleene stjerne.

Generelle tilfælde

I det generelle tilfælde, behøver de algebraiske relationer ikke være associative, i hvilket tilfælde udgangspunktet ikke er mængden af ​​alle ord, men snarere strenge præget med parenteser, som anvendes til at angive de ikke-associative grupper af breve. En sådan streng kan tilsvarende være repræsenteret af et binært træ eller en gratis magma; bladene af træet er bogstaverne fra alfabetet.

De algebraiske relationer kan så være generelle arities eller finitary relationer på bladene af træet. Snarere end at starte med indsamling af alle mulige parentes strenge, kan det være mere praktisk at starte med Herbrand universet. Korrekt beskriver eller optælle indholdet af et frit objekt kan være let eller svært, afhængigt af den særlige algebraiske pågældende genstand. For eksempel er den frie gruppe i to generatorer let beskrevet. Derimod lidt eller intet vides om strukturen af ​​frie Heyting algebraer i mere end en generator. Problemet med at bestemme, om to forskellige strenge tilhører samme ækvivalens klasse er kendt som ordet problem.

Som eksemplerne antyder, frie objekter ligner konstruktioner fra syntaks; man kan vende det til en vis grad ved at sige, at større brug af syntaks kan forklares og karakteriseres som frie objekter, på en måde, der gør tilsyneladende tung 'tegnsætning' forklarlig.

Gratis universelle algebraer

Lade være et sæt, lad være en algebraisk struktur af typen genereret af. Lad den underliggende sæt af denne algebraiske struktur, også kaldet universet, være, og lad være en funktion. Vi siger, at, er en gratis algebra på sæt gratis generatorer, hvis for ethvert algebra af type og funktion, hvor er et univers af, findes der en unik homomorfi sådan, at.

Gratis functor

Den mest generelle ramme om en gratis objektet er i kategori teori, hvor man definerer en functor, den frie functor, der er den venstre adjungerede til den glemsomme functor.

Overvej kategori C i algebraiske strukturer; disse kan opfattes som sæt plus operationer, adlyde nogle love. Denne kategori har en functor ,, den glemsomme functor, der kortlægger objekter og funktioner i C til Set, den kategori af sæt. Den glemsom functor er meget enkel: det bare ignorerer alle de operationer.

Den frie functor F, når den eksisterer, er den venstre adjungerede til U. Det vil sige, tager sæt X i Indstil til deres tilsvarende frie objekter F i kategorien C. Den indstillede X kan opfattes som sættet af "generatorer" af fri genstand F.

For den gratis functor at være en venstre adjungerede, må man også have en Set-morphism. Mere eksplicit, F er, op til isomorfier i C, som er kendetegnet ved følgende universelle ejendom:

Konkret dette sender et sæt til den frie objekt på dette sæt; det er den "inddragelse af et grundlag". Misbruger notation, (dette misbrug notation, fordi X er et sæt, mens F er en algebra, korrekt, det er).

Den naturlige transformation kaldes enhed; sammen med counit, kan man konstruere en T-algebra og så en monade. Dette fører til det næste emne: gratis funktorer eksistere, når C er en monade i Set.

Eksistens

Der er generelle eksistens teoremer, der gælder; den mest grundlæggende af dem sikrer, at

Her, en række er et synonym for en finitary algebraisk kategori, hvilket antyder, at det sæt af relationer er finitary, og algebraisk fordi det er monadiske i Set.

Generelle tilfælde

Andre typer af glemsomhed giver også anledning til objekter helt som frie objekter, idet de er overladt adjungerede til en glemsom functor, ikke nødvendigvis at sæt.

For eksempel tensor algebra byggeri på et vektorrum som venstre adjoint til functor på associative algebraer, der ignorerer algebra struktur. Det er derfor ofte også kaldet en fri algebra.

Ligeledes den symmetriske algebra og udvendig algebra er frie symmetriske og antisymmetriske algebraer på et vektorrum.

Liste over gratis objekter

Specifikke former for gratis genstande kan nævnes:

• gratis algebra
  • fri associativ algebra
  • gratis kommutativ algebra
• frie kategori
  • gratis strenge monoidal kategori
• fri gruppe
  • fri abelsk gruppe
  • gratis delvist kommutativ gruppe
• gratis Kleene algebra
• fri gitter
  • gratis boolsk algebra
  • gratis distributiv gitter
  • gratis Heyting algebra
• gratis Lie algebra
• gratis magma
• gratis modul
• gratis monoid
  • gratis kommutativ monoid
  • gratis delvist kommutativ monoid
• gratis ring
• gratis semigruppe
• gratis semiring
  • gratis kommutativ semiring
• gratis teori
• sigt algebra
• diskret plads